d S=d Q rev T=CVT d T+n RV d V
(a) SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial d S deve deve ser exata ou inexata e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão para a variação da entropia em termos de outras variáveis, e precisamos descobrir se essa diferencial é exata ou inexata. Isso está dentro da matéria de Termoquímica, mais especificamente sobre funções de estado e diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Uma diferencial é exata se ela pode ser escrita como a derivada de uma função de estado. Ou seja, se for exata, existe uma função tal que é a sua diferencial total.

Passo 3

Na expressão dada:
dS = CVT dT + nRV dV
Temos termos que multiplicam e . Para que seja exata, precisa satisfazer a condição de que as misturas das derivadas parciais sejam iguais. Isso vem dos teoremas de integrabilidade.

Passo 4

Vamos verificar essa condição sem usar o critério de Euler. A condição é que:
partialpartial V(CVT) = partialpartial T(nRV)
Ou seja, as derivadas cruzadas dos coeficientes de e devem ser iguais.

Passo 5

Calculando:
partialpartial V(CVT) = -CVT^2 partial Tpartial V
Mas normalmente, partialpartial T(nRV) = 0 é constante e não depende de diretamente, então essa derivada é zero.
E:
Já que e não dependem de .

Passo 6

Como as derivadas cruzadas são iguais (ambas são zero), isso indica que a condição de integrabilidade é satisfeita. Portanto, a diferencial é exata.

Resposta

A diferencial é exata, pois satisfaz as condições de integrabilidade necessárias para ser uma função de estado.

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