Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se é invertível então é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se é invertível então é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e matrizes diagonalizáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que é uma matriz diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Já uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível de autovetores de .
Passo 3
Agora, a pergunta é: toda matriz que é invertível também é diagonalizável? Na real, isso não é sempre verdade. Embora muitas matrizes invertíveis sejam diagonalizáveis, há matrizes invertíveis que não são diagonalizáveis.
Passo 4
Vamos dar um exemplo para mostrar isso. Considere a matriz abaixo:
Essa matriz é invertível porque seu determinante é .
Passo 5
Agora, vamos ver se ela é diagonalizável. Procuramos os autovalores resolvendo :
O autovalor é com multiplicidade 2. Agora, encontramos os autovetores resolvendo :
Isso nos dá a equação , então os autovetores são da forma . Isso significa que existe apenas um vetor independente, então a matriz não tem uma base completa de autovetores e, portanto, não é diagonalizável.
Resposta
Falsa. Por exemplo, a matriz é invertível mas não é diagonalizável.