Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se
é invertível então
é diagonalizável.
(e) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se
é invertível então
é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e matrizes diagonalizáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que é uma matriz diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Já uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível de autovetores de
.
Passo 3
Agora, a pergunta é: toda matriz que é invertível também é diagonalizável? Na real, isso não é sempre verdade. Embora muitas matrizes invertíveis sejam diagonalizáveis, há matrizes invertíveis que não são diagonalizáveis.
Passo 4
Vamos dar um exemplo para mostrar isso. Considere a matriz
abaixo:
Essa matriz é invertível porque seu determinante é
.
Passo 5
Agora, vamos ver se ela é diagonalizável. Procuramos os autovalores resolvendo
:
O autovalor é
com multiplicidade 2. Agora, encontramos os autovetores resolvendo
:
Isso nos dá a equação
, então os autovetores são da forma
. Isso significa que existe apenas um vetor independente, então a matriz
não tem uma base completa de autovetores e, portanto, não é diagonalizável.
Resposta
Falsa. Por exemplo, a matriz
é invertível mas não é diagonalizável.