Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se A é invertível então A é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se é invertível então é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e matrizes diagonalizáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que é uma matriz diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Já uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível de autovetores de .

Passo 3

Agora, a pergunta é: toda matriz que é invertível também é diagonalizável? Na real, isso não é sempre verdade. Embora muitas matrizes invertíveis sejam diagonalizáveis, há matrizes invertíveis que não são diagonalizáveis.

Passo 4

Vamos dar um exemplo para mostrar isso. Considere a matriz A = 1 & 1 0 & 1 abaixo:
Essa matriz é invertível porque seu determinante é .

Passo 5

Agora, vamos ver se ela é diagonalizável. Procuramos os autovalores resolvendo det( 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 :
0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
O autovalor é v1 0 com multiplicidade 2. Agora, encontramos os autovetores resolvendo :
Isso nos dá a equação , então os autovetores são da forma . Isso significa que existe apenas um vetor independente, então a matriz não tem uma base completa de autovetores e, portanto, não é diagonalizável.

Resposta

Falsa. Por exemplo, a matriz 1 & 1 0 & 1 é invertível mas não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

(d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))^perp=Nul(A).
Seja o sistema homogêneo:
ll x+2 y-4 z+3 t & =0 x+2 y-2 z+2 t & =0 2 x+4 y-2 z+3 t & =0
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
x+y+z & =4 2 x+5 y-2 z & =3 x+7 y-7 z & =5
O periodo de cada função abaixo é:
y2=3 cos 3 pi x :
A: -23
B. 32
C. -1pi
D. 5pi