Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se A é invertível então A é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se é invertível então é diagonalizável” é verdadeira ou falsa. Isso tá relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e matrizes diagonalizáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que é uma matriz diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Já uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível de autovetores de .

Passo 3

Agora, a pergunta é: toda matriz que é invertível também é diagonalizável? Na real, isso não é sempre verdade. Embora muitas matrizes invertíveis sejam diagonalizáveis, há matrizes invertíveis que não são diagonalizáveis.

Passo 4

Vamos dar um exemplo para mostrar isso. Considere a matriz A = 1 & 1 0 & 1 abaixo:
Essa matriz é invertível porque seu determinante é .

Passo 5

Agora, vamos ver se ela é diagonalizável. Procuramos os autovalores resolvendo det( 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 :
0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
O autovalor é v1 0 com multiplicidade 2. Agora, encontramos os autovetores resolvendo :
Isso nos dá a equação , então os autovetores são da forma . Isso significa que existe apenas um vetor independente, então a matriz não tem uma base completa de autovetores e, portanto, não é diagonalizável.

Resposta

Falsa. Por exemplo, a matriz 1 & 1 0 & 1 é invertível mas não é diagonalizável.

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