Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
x+y+z & =4 2 x+5 y-2 z & =3 x+7 y-7 z & =5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente tem aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas ( , e ). Vamos usar matrizes para simplificar a resolução, transformar o sistema em uma matriz ampliada e depois reduzir essa matriz para a forma escalonada. Dessa forma, a gente consegue encontrar os postos das matrizes e, se o sistema for possível, determinar o grau de liberdade.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3 1 & 7 & -7 & | & 5

Passo 3

Agora, vamos reduzir a matriz para a forma escalonada usando operações elementares de linha. O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (os primeiros non-zero em cada linha).
  1. Primeira Operação: Vamos usar a primeira linha para eliminar o R2 = R2 - 2R1 Rightarrow [2 - 2(1), 5 - 2(1), -2 - 2(1), 3 - 2(4)] = [0, 3, -4, -5] das outras linhas.
    • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
      R3 = R3 - R1 Rightarrow [1 - 1, 7 - 1, -7 - 1, 5 - 4] = [0, 6, -8, 1]
    • Subtrair a primeira linha da terceira linha:
      1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5 0 & 6 & -8 & | & 1
    A matriz fica assim:
    R3 = R3 - 2R2 Rightarrow [0 - 0, 6 - 2(3), -8 - 2(-4), 1 - 2(-5)] = [0, 0, 0, 11]
  2. Segunda Operação: Vamos usar a segunda linha para eliminar o 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5 0 & 0 & 0 & | & 11 da terceira linha.
    • Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Agora, a matriz fica:

Passo 4

Vamos analisar o posto das matrizes:
  • Matriz dos Coeficientes:
    1 & 1 & 1 2 & 5 & -2 1 & 7 & -7
    Após as operações, obtemos duas linhas não nulas, então o posto é 2.
  • Matriz Ampliada:
    1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5 0 & 0 & 0 & | & 11
    Aqui, aparece uma linha com todos os coeficientes zero, mas com um termo constante diferente de zero ( ), o que indica inconsistência. Portanto, o posto da matriz ampliada também é 3.

Passo 5

Como o posto da matriz ampliada (3) é maior que o posto da matriz dos coeficientes (2), isso significa que o sistema é inconsistente. Ou seja, não há solução para esse sistema de equações.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se A é invertível então A é diagonalizável.
(d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))^perp=Nul(A).
O periodo de cada função abaixo é:
y2=3 cos 3 pi x :
A: -23
B. 32
C. -1pi
D. 5pi
O periodo de cada função abaixo é:
y5=tg(5 x+pi6) :
A: pi5
B. -5pi
C. -pi5
D. -2 pi