(d) A série sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n
( ) converge para - 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série converge pra -2. Isso envolve entender séries infinitas, especificamente as séries geométricas, e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para facilitar a análise. Temos:
(-1)^n 3^2n2^-3n = (-1)^n times 3^2n2^-3n = (-1)^n times 3^2n times 2^3n
Agora, simplificando os expoentes:
3^2n = (3^2)^n = 9^n e 2^3n = (2^3)^n = 8^n
Então, a expressão fica:
(-1)^n times 9^n times 8^n = (-1)^n times (9 times 8)^n = (-1)^n times 72^n
Portanto, a série original pode ser reescrita como:
sumn=0^infty (-72)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica na forma geral:
sumn=0^infty r^n
Onde . Para saber se uma série geométrica converge, usamos o critério de convergência das séries geométricas, que diz:
  • A série converge se .
  • A série diverge se .

Passo 4

Vamos calcular o valor absoluto de |r| = |-72| = 72 :
Como é muito maior que , isso significa que .

Resposta

A série não converge.

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