O fato de sumn=0^+infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir convergem? sumn=1^+infty cn(-2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é entender se, sabendo que a série infinita converge, isso garante que a série também vai convergir. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries de potências e raio de convergência. Precisamos entender como o comportamento da série original influencia a segunda série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma série na forma , onde são os coeficientes e é a variável. O raio de convergência dessa série é o valor tal que a série converge para e diverge para .

Passo 3

Sabemos que a série converge. Isso significa que, para , a série está dentro do raio de convergência. Portanto, o raio de convergência é pelo menos 4, ou seja, .

Passo 4

Agora, queremos verificar a convergência da série |-2| = 2 . Aqui, o valor de 2 < 4 <= R é . Para saber se essa série converge, precisamos verificar se .
Calculando :
E sabemos que , então:
Isso significa que está dentro do raio de convergência da série original.

Resposta

Sim, a série converge.

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