O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é entender se, sabendo que a série infinita
converge, isso garante que a série
também vai convergir. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries de potências e raio de convergência. Precisamos entender como o comportamento da série original influencia a segunda série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma série na forma
, onde
são os coeficientes e
é a variável. O raio de convergência
dessa série é o valor tal que a série converge para
e diverge para
.
Passo 3
Sabemos que a série
converge. Isso significa que, para
, a série está dentro do raio de convergência. Portanto, o raio de convergência
é pelo menos 4, ou seja,
.
Passo 4
Agora, queremos verificar a convergência da série
. Aqui, o valor de
é
. Para saber se essa série converge, precisamos verificar se
.
Calculando
:
E sabemos que
, então:
Isso significa que
está dentro do raio de convergência da série original.
Resposta
Sim, a série
converge.
Exercícios relacionados
(d) A série
( ) converge para - 2
( ) converge para - 2
Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões
abaixo.
é delimitada pelo círculo
;
Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
a)