Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada pelo círculo ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região que está delimitada por um círculo com equação paramétrica , onde varia de a . Queremos calcular a área dessa região usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a versão do teorema que expressa a área como:

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando a equação dada. Sabemos que , então:
Para aplicar a integral, precisamos das derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo na expressão da área:
Substituindo , , e :

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
Fatiorando :
Sabemos que , então:

Resposta

A área da região é .

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O fato de ser convergente implica que as séries a seguir convergem? .