Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões
abaixo.
é delimitada pelo círculo
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
que está delimitada por um círculo com equação paramétrica , onde
varia de
a
. Queremos calcular a área dessa região usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a versão do teorema que expressa a área
como:
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando a equação dada. Sabemos que , então:
Para aplicar a integral, precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo na expressão da área:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da integral:
Fatiorando
:
Sabemos que , então:
Resposta
A área da região
é
.
Exercícios relacionados
(a) A série geométrica
( ) converge para
( ) converge para
(a) A série geométrica
( ) converge para
( ) converge para
(d) A série
( ) converge para - 2
( ) converge para - 2
O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
.