(a) A série geométrica
( ) converge para

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos uma série geométrica representada por:
A pergunta é verificar se essa série converge para o valor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e aplicar a fórmula que calcula a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

O que é uma série geométrica?
Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( ). A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, quando ela converge, é:
onde:
  • é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
Condição para convergência:
A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Identificando o primeiro termo ( ) e a razão ( ):
Observando a série dada:
Podemos ver que:
  • O primeiro termo é .
  • Para encontrar a razão , vamos dividir o segundo termo pelo primeiro:

Passo 4

Verificando a condição de convergência:
Precisamos verificar se :
Como , a série converge.

Passo 5

Calculando a soma da série ( ):
Usando a fórmula da soma da série geométrica:

Resposta

Sim, a série geométrica converge para .

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(a) A série geométrica
( ) converge para
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(f)
Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada pelo círculo ;
(d) A série
( ) converge para - 2