(d) A série sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n
( ) converge para 25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisamos descobrir se ela converge para . Aqui estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para facilitar nossa análise. Temos:
3^2n2^-3n = 3^2n times 2^3n = (3^2)^n times (2^3)^n = 9^n times 8^n = (9 times 8)^n = 72^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty (-1)^n times 72^n = sumn=0^infty (-72)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, (quando , ) e .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, .
Aqui, , que é muito maior que 1.

Resposta

Como , a série não converge. Portanto, a série dada não converge para .

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