(d) A série
( ) converge para
( ) converge para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e precisamos descobrir se ela converge para
. Aqui estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para facilitar nossa análise. Temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso,
(quando
,
) e
.
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão
precisa ser menor que 1, ou seja,
.
Aqui,
, que é muito maior que 1.
Resposta
Como
, a série
não converge. Portanto, a série dada não converge para
.