Existe um campo em tal que ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se existe um campo vetorial em tal que a rotação (ou “curl”) de seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre rotacional e condições que um campo precisa satisfazer para ser o rotacional de outro campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
Para existir um tal que , o campo dado precisa satisfazer certas condições.

Passo 3

Uma condição fundamental é que a divergência do campo rotacional seja zero. Isso vem do fato de que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Então, vamos calcular a divergência do campo :
Calculando cada derivada:
áãá
Somando tudo:
Então, a divergência é zero, o que satisfaz a primeira condição.

Passo 4

Além disso, para que um campo seja o rotacional de outro campo em todo o espaço , o espaço precisa ser simplesmente conexo, o que é verdade para . Isso significa que não há “buracos” no espaço que poderiam impedir a existência de tal campo .

Passo 5

Como verificamos que a divergência do campo é zero e estamos trabalhando em um espaço simplesmente conexo, podemos concluir que existe sim um campo vetorial em tal que .

Resposta

Sim, existe um campo vetorial em tal que .

Exercícios relacionados

Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
(d) A série
( ) converge para
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .
Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.