Existe um campo
em
tal que
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se existe um campo vetorial
em
tal que a rotação (ou “curl”) de
seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre rotacional e condições que um campo precisa satisfazer para ser o rotacional de outro campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para existir um
tal que
, o campo dado precisa satisfazer certas condições.
Passo 3
Uma condição fundamental é que a divergência do campo rotacional seja zero. Isso vem do fato de que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Então, vamos calcular a divergência do campo
:
Calculando cada derivada:
Somando tudo:
Então, a divergência é zero, o que satisfaz a primeira condição.
Passo 4
Além disso, para que um campo seja o rotacional de outro campo em todo o espaço
, o espaço precisa ser simplesmente conexo, o que é verdade para
. Isso significa que não há “buracos” no espaço que poderiam impedir a existência de tal campo
.
Passo 5
Como verificamos que a divergência do campo
é zero e estamos trabalhando em um espaço simplesmente conexo, podemos concluir que existe sim um campo vetorial
em
tal que
.
Resposta
Sim, existe um campo vetorial
em
tal que
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
(d) A série
( ) converge para
( ) converge para
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.