Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Rot(Rot(F))

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial r e um campo vetorial F. A questão pede para a gente verificar se a expressão Rot(Rot(F)) faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo vetorial ou escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador “Rot”, que na verdade é o rotor ou o rotacional, e como ele age sobre campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional, representado por ou nabla vezes. O rotacional de um campo vetorial é outro campo vetorial que mede a tendência de F de girar em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Isso nos mostra que o rotacional de F resulta em outro campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão Rot(Rot(F)). Isso significa que estamos aplicando o rotacional duas vezes consecutivas no campo vetorial F. Primeiro, calculamos o rotacional de F, que já sabemos que é um campo vetorial. Em seguida, aplicamos o rotacional novamente a esse novo campo vetorial.

Passo 4

É importante saber que, no espaço tridimensional, aplicar o rotacional duas vezes em um campo vetorial F é uma operação válida e resulta em outro campo vetorial. Essa operação é conhecida como o “rotacional do rotacional” de F. A expressão final ainda será um campo vetorial, pois o rotacional de qualquer campo vetorial em três dimensões sempre resulta em outro campo vetorial.

Resposta

A expressão Rot(Rot(F)) tem significado e o resultado é um campo vetorial.

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