Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial
e um campo vetorial
. A questão pede para a gente verificar se a expressão
faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo vetorial ou escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador “Rot”, que na verdade é o rotor ou o rotacional, e como ele age sobre campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional, representado por
ou
. O rotacional de um campo vetorial
é outro campo vetorial que mede a tendência de
de girar em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Isso nos mostra que o rotacional de
resulta em outro campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Isso significa que estamos aplicando o rotacional duas vezes consecutivas no campo vetorial
. Primeiro, calculamos o rotacional de
, que já sabemos que é um campo vetorial. Em seguida, aplicamos o rotacional novamente a esse novo campo vetorial.
Passo 4
É importante saber que, no espaço tridimensional, aplicar o rotacional duas vezes em um campo vetorial
é uma operação válida e resulta em outro campo vetorial. Essa operação é conhecida como o “rotacional do rotacional” de
. A expressão final ainda será um campo vetorial, pois o rotacional de qualquer campo vetorial em três dimensões sempre resulta em outro campo vetorial.
Resposta
A expressão
tem significado e o resultado é um campo vetorial.