Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função
e depois descobrir em qual intervalo essa série converge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e manipulação de séries. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função
. A série de Taylor de
centrada em 0 é:
Isso vale para
. Essa série nos dá uma maneira de escrever a função
como uma soma infinita de termos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa série para a função
. Substituindo
por
na série, temos:
Isso nos dá a série de potências para
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de potências para
:
Então, a série de potências para
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original de
converge para
. Como substituímos
por
, precisamos garantir que:
Portanto, a série de potências para
também converge para
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.