Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e depois descobrir em qual intervalo essa série converge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e manipulação de séries. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função . A série de Taylor de centrada em 0 é:
Isso vale para . Essa série nos dá uma maneira de escrever a função como uma soma infinita de termos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa série para a função . Substituindo por na série, temos:
Isso nos dá a série de potências para .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de potências para :
Então, a série de potências para é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original de converge para . Como substituímos por , precisamos garantir que:
Portanto, a série de potências para também converge para .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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(a) A série geométrica
( ) converge para
Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
(d) A série
( ) converge para
Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.