(a) A série geométrica
( ) converge para

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série geométrica e queremos saber se ela converge para . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona uma série geométrica e aplicar a fórmula de soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos. O primeiro termo é igual a 1. Agora, para encontrar a razão , vamos ver como cada termo se relaciona com o anterior.
Observando os primeiros termos:
  • O segundo termo é , que é igual a .
  • O terceiro termo é , que é igual a .
Então, a razão é .

Passo 3

Agora que temos o primeiro termo e a razão , vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica infinita convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, .
Calculando:
Como , a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dessa série infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
onde:
  • é a soma da série
  • é o primeiro termo
  • é a razão comum
Substituindo os valores:

Resposta

Não, a série geométrica converge para , não para .

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Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .
(d) A série
( ) converge para