(d) A série sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n
( ) diverge

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma série infinita do tipo sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n. O conteúdo envolve sequências e séries, e vamos precisar simplificar a expressão para verificar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Sabemos que:
  • 3^2n = 9^n
  • 2^-3n = (12)^3n = (18)^n = 8^-n
Então, a série fica:
sumn=0^infty (-1)^n cdot 9^n8^-n = sumn=0^infty (-1)^n cdot 9^n cdot 8^n = sumn=0^infty (-1)^n cdot (9 times 8)^n = sumn=0^infty (-72)^n

Passo 3

Agora, percebemos que a série é uma série geométrica da forma sumn=0^infty r^n, onde r = -72.

Passo 4

Para uma série geométrica sum r^n, sabemos que ela converge se e somente se |r| < 1. Nesse caso, |r| = | -72 | = 72, que é maior que 1.

Resposta

A série sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n diverge.

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