(b) Seja b in R. A série geométrica sumk=0^infty 7(b3)^2 k converge se e somente se
ll ( & ) b in(0,3) () b in[0,3) ( & ) b in(-3,3) () b in[-3,3] ( & ) b in(-9,9) ( & ) b in(0,9)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de sumk=0^infty 7(b3)^2 k a série geométrica
converge. A gente vai usar os conceitos de séries geométricas e a condição de convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para entender melhor. A expressão (b3)^2k = (b^29)^k pode ser simplificada:
sumk=0^infty 7(b^29)^k
Então, a série fica:
Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo é 7 e a razão é .

Passo 3

Para uma série geométrica |r| < 1 convergir, a razão |b^29| < 1 precisa satisfazer:
No nosso caso, . Então, a condição de convergência é:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade:
b^29 < 1
Multiplicando ambos os lados por 9:
b^2 < 9
Agora, tirando a raiz quadrada:
|b| < 3
Isso significa que deve estar entre -3 e 3 para que a série converja.

Passo 5

Então, a série geométrica dada converge se e somente se b in (-3, 3) está no intervalo aberto entre -3 e 3, ou seja:

Resposta

A série geométrica converge se e somente se estiver no intervalo .

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