(b) Seja
. A série geométrica
converge se e somente se
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de
a série geométrica
converge. A gente vai usar os conceitos de séries geométricas e a condição de convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para entender melhor. A expressão
pode ser simplificada:
Então, a série fica:
Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo
é 7 e a razão
é
.
Passo 3
Para uma série geométrica
convergir, a razão
precisa satisfazer:
No nosso caso,
. Então, a condição de convergência é:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Isso significa que
deve estar entre -3 e 3 para que a série converja.
Passo 5
Então, a série geométrica dada converge se e somente se
b in (-3, 3) está no intervalo aberto entre -3 e 3, ou seja:
Resposta
A série geométrica converge se e somente se
estiver no intervalo
.