(b) Seja . A série geométrica converge se e somente se

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de a série geométrica
converge. A gente vai usar os conceitos de séries geométricas e a condição de convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para entender melhor. A expressão pode ser simplificada:
Então, a série fica:
Isso é uma série geométrica onde o primeiro termo é 7 e a razão é .

Passo 3

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer:
No nosso caso, . Então, a condição de convergência é:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Isso significa que deve estar entre -3 e 3 para que a série converja.

Passo 5

Então, a série geométrica dada converge se e somente se está no intervalo aberto entre -3 e 3, ou seja:

Resposta

A série geométrica converge se e somente se estiver no intervalo .

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( ) diverge
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto . Justifique sua resposta.
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