Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a função
é contínua no ponto
. Vamos usar conceitos de continuidade e limites de funções de duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A função é definida de duas maneiras:
Para verificar o limite, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação. Se obtivermos resultados diferentes, isso mostra que o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho ao longo do eixo
, ou seja, onde
:
À medida que
se aproxima de
,
tende para infinito. Isso já indica que o limite não existe, pois está “explodindo”.
Passo 5
Para confirmar, vamos tentar outro caminho, por exemplo,
:
Novamente, quando
se aproxima de
,
também tende para infinito, mas com sinal negativo.
Passo 6
Como o limite da função tende para
em um caminho e para
em outro, isso confirma que o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
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