Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a função é contínua no ponto . Vamos usar conceitos de continuidade e limites de funções de duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função é definida de duas maneiras:
Para verificar o limite, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação. Se obtivermos resultados diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho ao longo do eixo , ou seja, onde :
À medida que se aproxima de , tende para infinito. Isso já indica que o limite não existe, pois está “explodindo”.

Passo 5

Para confirmar, vamos tentar outro caminho, por exemplo, :
Novamente, quando se aproxima de , também tende para infinito, mas com sinal negativo.

Passo 6

Como o limite da função tende para em um caminho e para em outro, isso confirma que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o valor de de modo que a
seja continua
Determine domínio, imagem e desenhe as curvas de nível das seguintes funções
(d) A série
( ) diverge
(b) Seja . A série geométrica converge se e somente se