Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador é um número ímpar. Essa série converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma de para todo número natural . A ideia é verificar se uma versão modificada dessa série, onde a gente deixa de fora todos os termos cujo denominador é ímpar, ainda converge ou se diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “omitir todos os termos cujo denominador é um número ímpar”. Isso quer dizer que, na série original , vamos remover os termos onde é ímpar. Ou seja, ficamos apenas com os termos onde é par, que são .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série modificada de forma mais simples. Observando que todos os denominadores são múltiplos de 2, podemos fatorar esse 2:
Aqui, percebemos que a série dentro dos parênteses é a própria série harmônica.

Passo 4

A série harmônica é conhecida por divergir, ou seja, sua soma cresce sem limites. Multiplicar essa série por uma constante não altera seu comportamento de divergência, apenas muda a taxa com que ela cresce.

Passo 5

Portanto, a série modificada também diverge, já que é apenas metade da série harmônica, que já é infinita.

Resposta

A série modificada diverge.

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(b) Seja . A série geométrica converge se e somente se
(d) A série
( ) diverge
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?
(b) Seja a série e seja , para . Se , então a série converge.