Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador é um número ímpar. Essa série converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma de
para todo número natural
. A ideia é verificar se uma versão modificada dessa série, onde a gente deixa de fora todos os termos cujo denominador é ímpar, ainda converge ou se diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “omitir todos os termos cujo denominador é um número ímpar”. Isso quer dizer que, na série original
, vamos remover os termos onde
é ímpar. Ou seja, ficamos apenas com os termos onde
é par, que são
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série modificada de forma mais simples. Observando que todos os denominadores são múltiplos de 2, podemos fatorar esse 2:
Aqui, percebemos que a série dentro dos parênteses é a própria série harmônica.
Passo 4
A série harmônica
é conhecida por divergir, ou seja, sua soma cresce sem limites. Multiplicar essa série por uma constante
não altera seu comportamento de divergência, apenas muda a taxa com que ela cresce.
Passo 5
Portanto, a série modificada
também diverge, já que é apenas metade da série harmônica, que já é infinita.
Resposta
A série modificada diverge.
Exercícios relacionados
(b) Seja
. A série geométrica
converge se e somente se
(d) A série
( ) diverge
( ) diverge
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?
(b) Seja a série
e seja
, para
. Se
, então a série
converge.