Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo y, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que gera quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada pequena fatia da região vira um “anel” ou “cilindro” cuja área depende da distância ao eixo de rotação. Para calcular o volume total, vamos integrar essas áreas ao longo do intervalo dado.
Passo 3
Aqui, como estamos girando em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a função que dá o raio do disco em cada ponto .
Passo 4
Precisamos expressar em termos de para encontrar . Da equação , temos:
Então, o raio é .
Passo 5
Determinar os limites de integração. A região se estende de até , então: