Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo y, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
y = x^2, y = 4, 0 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que gera quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada pequena fatia da região vira um “anel” ou “cilindro” cuja área depende da distância ao eixo de rotação. Para calcular o volume total, vamos integrar essas áreas ao longo do intervalo dado.

Passo 3

Aqui, como estamos girando em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a função que dá o raio do disco em cada ponto .

Passo 4

Precisamos expressar em termos de para encontrar . Da equação , temos:
Então, o raio é .

Passo 5

Determinar os limites de integração. A região se estende de até , então:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 8

Calculamos a integral:
Avaliado de 0 a 4:

Passo 9

Multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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