Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de cálculo de volume de sólidos de revolução, um tópico da Cálculo Integral. A gente precisa encontrar o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se cruzam e depois aplicar a fórmula adequada para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 4
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.
Passo 5
Agora, vamos visualizar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos testar
:
Para
:
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, usamos o método das “lavadoras”. A fórmula é:
Onde:
-
é a função de cima: -
é a função de baixo: -
e são os limites de integração.
Passo 7
Substituindo as funções na fórmula:
Vamos expandir e simplificar os termos dentro da integral.
Passo 8
Calculando as potências:
Subtraindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Passo 10
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução é: