Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
y = 1/x - 1/2, y = -1/2 x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de cálculo de volume de sólidos de revolução, um tópico da Cálculo Integral. A gente precisa encontrar o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se cruzam e depois aplicar a fórmula adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.

Passo 5

Agora, vamos visualizar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar :
Para :
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo , usamos o método das “lavadoras”. A fórmula é:
Onde:
  • é a função de cima:
  • é a função de baixo:
  • e são os limites de integração.

Passo 7

Substituindo as funções na fórmula:
Vamos expandir e simplificar os termos dentro da integral.

Passo 8

Calculando as potências:
Subtraindo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução é:
ú

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