$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1 du/dt = (t^2 + t*u(t) + u(t)^2) / t^2, u(1) = 1íçã
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede pra resolver uma equação diferencial e descobrir onde a solução vale de verdade. A equação dada é:
Então, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver equações não lineares, como essa. A gente também vai precisar manipular funções logarítmicas e trigonométricas para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. A equação é:
Vamos dividir cada termo no numerador por :
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo isso na equação original, temos:
Podemos simplificar cancelando o de ambos os lados:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos reescrever:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
As integrais conhecidas são:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Tomando a tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
Lembrando que , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que :
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta na solução geral, temos:

Passo 9

Agora, precisamos determinar o domínio de validade dessa solução. A função tem singularidades onde , ou seja, quando , onde é qualquer inteiro.
Então, queremos que nunca seja igual a :
Resolvendo para :
Portanto, o domínio de validade da solução são todos os exceto onde .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
E o domínio de validade dessa solução são todos os valores de tais que:
é

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