$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede pra resolver uma equação diferencial e descobrir onde a solução vale de verdade. A equação dada é:
Então, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver equações não lineares, como essa. A gente também vai precisar manipular funções logarítmicas e trigonométricas para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. A equação é:
Vamos dividir cada termo no numerador por
:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo isso na equação original, temos:
Podemos simplificar cancelando o
de ambos os lados:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reescrever:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
As integrais conhecidas são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Tomando a tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
Lembrando que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo
de volta na solução geral, temos:
Passo 9
Agora, precisamos determinar o domínio de validade dessa solução. A função
tem singularidades onde
, ou seja, quando
, onde
é qualquer inteiro.
Então, queremos que
nunca seja igual a
:
Resolvendo para
:
Portanto, o domínio de validade da solução são todos os
exceto onde
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
E o domínio de validade dessa solução são todos os valores de
tais que:
Exercícios relacionados
Resolver a EDO
Resposta:
.
As EDOs de primeira ordem da forma
em que
satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função
é homogênea de grau
se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito
pode ser escrito
como uma função da razão
. Então, a substituição
transforma a EDO em outra EDO para
que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t}
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$
Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(h)
(i)
Respostas:
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(a)