Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
d^2 ud t^2+2 d ud t+3 u=t^2+4 t
(b)
d^2 ud t^2+d ud t=2 t+1
©
d^2 ud t^2+2 d ud t+u=t^2 e^2 t
(d)
d^2 ud t^2+2 d ud t+u=2 t e^-t
(e)
d^2 ud t^2-2 d ud t-4 u=3 cos (2 t)
(f)
d^2 ud t^2+4 u=sen(3 t)
(g)
d^2 ud t^2+9 u=5 sen(t)
(h)
d^2 ud t^2+2 d ud t+u=e^t cos (t)
(i)
d^2 ud t^2-5 d ud t+6 u=e^2 t t sen(2 t)
Respostas:
(a)
up(t)=(1 / 3) t^2+(8 / 9) t-22 / 27
(b)
up(t)=t^2-t
©
up(t)=(1 / 9) t^2 exp (2 t)-(4 / 27) t exp (2 t)+(2 / 27) exp (2 t)
(d)
up(t)=(1 / 3) t^3 exp (-t)
(e)
up(t)=-(3 / 20) sen(2 t)-(3 / 10) cos (2 t)
(f)
up(t)=-(1 / 5) sen(3 t)
(g)
up(t)=(25 / 24) sen(t)+(5 / 6) sen(t) cos (2 t)
(h)
up(t)=(4 / 25) e^t sen(t)+(3 / 25) e^t cos (t)
(i)
up(t)=-13100 e^2 t sen(2 t)-15 t e^2 t sen(2 t)-425 e^2 t cos (2 t)+110 e^2 t t cos (2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A equação diferencial que a gente tem é:
d^2 ud t^2 + 2 d ud t + 3u = t^2 + 4 t
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O conteúdo da matéria aqui é o Método dos Coeficientes a Determinar. Para resolver, a gente precisa identificar a forma da parte não homogênea (o lado direito) e supor uma solução particular baseada nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte não homogênea: up(t) = A t^2 + B t + C . Isso é um polinômio de segundo grau. Então, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau. Vamos assumir:
onde , e são coeficientes que a gente precisa determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de d upd t = 2A t + B :
d^2 upd t^2 = 2A

Passo 4

Substituímos 2A + 2(2A t + B) + 3(A t^2 + B t + C) = t^2 + 4 t , e na equação diferencial original:

Passo 5

Distribuímos e agrupamos os termos semelhantes:
2A + 4A t + 2B + 3A t^2 + 3B t + 3C = t^2 + 4 t
3A t^2 + (4A + 3B) t + (2A + 2B + 3C) = t^2 + 4 t + 0

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para 3A = 1 Rightarrow A = 13 :
4A + 3B = 4 Rightarrow 4(13) + 3B = 4 Rightarrow 43 + 3B = 4 Rightarrow 3B = 4 - 43 = 83 Rightarrow B = 89
  • Para 2A + 2B + 3C = 0 Rightarrow 2(13) + 2(89) + 3C = 0 Rightarrow 23 + 169 + 3C = 0 :
69 + 169 + 3C = 0 Rightarrow 229 + 3C = 0 Rightarrow 3C = -229 Rightarrow C = -2227
  • Para o termo constante:

Resposta

A solução particular é:
up(t) = 13 t^2 + 89 t - 2227

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