d) Verifique que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função gama, quando avaliada em , é igual a , onde pode ser 0, 1, 2, e assim por diante. Esse problema está no campo das funções especiais, mais especificamente envolvendo a função gama, que é uma generalização do fatorial. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades da função gama, especialmente para números semi-inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função gama é definida por:
Para valores inteiros, ela se relaciona com o fatorial:
Mas o que acontece quando não é um inteiro? Especialmente, queremos ver para .

Passo 3

Existe uma fórmula conhecida para a função gama em termos de números semi-inteiros:
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que , então podemos reescrever a fórmula como:
Isso já mostra exatamente o que o exercício quer que a gente verifique.

Passo 4

Para entender por que essa igualdade é verdadeira, podemos usar a relação da função gama com integrais envolvendo a função exponencial e a mudança de variáveis que leva a expressões envolvendo . Outro caminho é utilizar a identidade de duplicação de Legendre para a função gama, que também leva a essa relação específica para argumentos semi-inteiros.

Passo 5

Vamos testar a igualdade para para confirmar. Substituindo:
E do outro lado:
Os dois lados são iguais, confirmando que a igualdade funciona para . Podemos fazer cálculos similares para outros valores de e sempre obteremos a igualdade verdadeira.

Resposta

Portanto, verificamos que para todo ,

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Prove que
e . Conclua que
Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
e)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
h)