d) Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função gama, quando avaliada em
, é igual a
, onde
pode ser 0, 1, 2, e assim por diante. Esse problema está no campo das funções especiais, mais especificamente envolvendo a função gama, que é uma generalização do fatorial. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades da função gama, especialmente para números semi-inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função gama é definida por:
Para valores inteiros, ela se relaciona com o fatorial:
Mas o que acontece quando
não é um inteiro? Especialmente, queremos ver para
.
Passo 3
Existe uma fórmula conhecida para a função gama em termos de números semi-inteiros:
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que
, então podemos reescrever a fórmula como:
Isso já mostra exatamente o que o exercício quer que a gente verifique.
Passo 4
Para entender por que essa igualdade é verdadeira, podemos usar a relação da função gama com integrais envolvendo a função exponencial e a mudança de variáveis que leva a expressões envolvendo
. Outro caminho é utilizar a identidade de duplicação de Legendre para a função gama, que também leva a essa relação específica para argumentos semi-inteiros.
Passo 5
Vamos testar a igualdade para
para confirmar. Substituindo:
E do outro lado:
Os dois lados são iguais, confirmando que a igualdade funciona para
. Podemos fazer cálculos similares para outros valores de
e sempre obteremos a igualdade verdadeira.
Resposta
Portanto, verificamos que para todo
,
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Prove que
e
. Conclua que
Então:
a) Mostre que para todo
suficientemente grande.
a) Mostre que
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
e)
e)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
h)
h)