Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
e) integral0^infty raizx e^-raizx d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Função Gamma. Para isso, precisamos entender como transformar a integral dada em uma forma que se encaixe na definição da Função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral0^infty x^1/2 , e^-x^1/2 , dx . Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
t = raizx Rightarrow x = t^2
Derivando ambos os lados em relação a dx = 2t , dt , temos:

Passo 4

Substituindo integral0^infty (t) , e^-t , (2t , dt) = 2 integral0^infty t^2 , e^-t , dt e na integral original, obtemos:

Passo 5

A integral Gamma(3) = integral0^infty t^3-1 , e^-t , dt = integral0^infty t^2 , e^-t , dt é reconhecida como a definição da Função Gamma para :

Passo 6

Sabemos que Gamma(3) = 2! = 2 para números inteiros . Portanto:

Passo 7

Substituindo 2 times Gamma(3) = 2 times 2 = 4 na nossa integral, temos:

Resposta

A integral é igual a 4.

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