A
tem um fator integrante da forma
, onde
é um inteiro positivo. Encontre
e então resolva a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nos pedem para encontrar um fator integrante na forma
, onde
é um número inteiro positivo, e depois resolver a EDO. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que facilita resolver equações que não são exatas inicialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está na forma:
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que torne a equação exata. O enunciado já nos dá uma pista: o fator integrante tem a forma
, onde
é um inteiro positivo. Vamos determinar o valor de
.
A condição para a exatidão é que:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na condição:
Isso nos dá:
Integrando ambos os lados:
Como
é uma constante, podemos considerar
. Portanto, o fator integrante é:
Então,
.
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação está exata, o que significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos desprezar essa constante para simplificar.
Portanto, a solução geral da EDO é:
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante.