A E D O(4 x + 3 y^2) + 2 x y y' = 0 tem um fator integrante da forma x^n, onde n é um inteiro positivo. Encontre n e então resolva a E D O.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nos pedem para encontrar um fator integrante na forma , onde é um número inteiro positivo, e depois resolver a EDO. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que facilita resolver equações que não são exatas inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, a equação está na forma:

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. O enunciado já nos dá uma pista: o fator integrante tem a forma , onde é um inteiro positivo. Vamos determinar o valor de .
A condição para a exatidão é que:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na condição:
Isso nos dá:
Integrando ambos os lados:
Como é uma constante, podemos considerar . Portanto, o fator integrante é:
Então, .

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação está exata, o que significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos desprezar essa constante para simplificar.
Portanto, a solução geral da EDO é:

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante.

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