Determine um fator integrante da forma mu(x, y) = x^p * y^q para a equação y(y^2+1) dx + x(y^2-1) ln(x) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de equações diferenciais que envolve encontrar um fator integrante da forma . A equação dada é:
Vamos precisar entender sobre fatores integrantes e como tornamos uma equação diferencial exata usando esse fator.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma é exata se . Vamos identificar M e N:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação não é exata.

Passo 4

Vamos então procurar um fator integrante da forma . O objetivo é encontrar valores de p e q que tornem a equação exata quando multiplicarmos ambos M e N por mu.
Depois da multiplicação, teremos:

Passo 5

Para a equação ser exata, precisamos que:
Vamos calcular essas derivadas:
Primeiro, :
Simplificando:
Agora, :

Passo 6

Para que a equação seja exata, os termos envolvendo ln x devem cancelar, pois no lado esquerdo não temos ln x. Isso implica que o coeficiente de ln x deve ser zero:
Como , devemos ter:

Passo 7

Com , substituímos de volta nas expressões das derivadas e igualamos os termos sem ln x:
Igualamos os coeficientes:
Resolvendo para q:
Isso deve valer para todos os valores de y, então:

Resposta

O fator integrante é .

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