Determine um fator integrante da forma
para a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de equações diferenciais que envolve encontrar um fator integrante da forma
. A equação dada é:
Vamos precisar entender sobre fatores integrantes e como tornamos uma equação diferencial exata usando esse fator.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma
é exata se
. Vamos identificar
e
:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata.
Passo 4
Vamos então procurar um fator integrante da forma
. O objetivo é encontrar valores de
e
que tornem a equação exata quando multiplicarmos ambos
e
por
.
Depois da multiplicação, teremos:
Passo 5
Para a equação ser exata, precisamos que:
Vamos calcular essas derivadas:
Primeiro,
:
Simplificando:
Agora,
:
Passo 6
Para que a equação seja exata, os termos envolvendo
devem cancelar, pois no lado esquerdo não temos
. Isso implica que o coeficiente de
deve ser zero:
Como
, devemos ter:
Passo 7
Com
, substituímos de volta nas expressões das derivadas e igualamos os termos sem
:
Igualamos os coeficientes:
Resolvendo para
:
Isso deve valer para todos os valores de
, então:
Resposta
O fator integrante é
.