pela regra de
de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de
usando a regra de Simpson 1/3 composta. Além disso, precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. Vamos usar conceitos de integração numérica para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson 1/3. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas e funciona melhor quando a função é suave. A fórmula geral da regra de Simpson 1/3 composta é:
onde
e
é o número de subintervalos (deve ser par).
Passo 3
Agora, precisamos determinar o número de subintervalos
que garantirá que o erro da aproximação seja menor que 0,001. Para isso, usamos a estimativa de erro da regra de Simpson:
Aqui,
é o máximo valor absoluto da quarta derivada da função
no intervalo [0, 6]. Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculando a quarta derivada de
:
O valor máximo de
é 1, já que o cosseno nunca excede 1 em valor absoluto. Portanto,
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Agora, tiramos a raiz quarta para encontrar
:
Como
deve ser par, arredondamos para o próximo número par, que é 18.
Passo 6
Agora que sabemos que vamos usar
subintervalos, calculamos o passo
:
Passo 7
Vamos identificar os pontos de avaliação
:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da regra de Simpson 1/3 composta:
Passo 9
Calculamos cada termo:
- Calculamos
para cada de 0 a 18. - Somamos os valores de
para índices ímpares e pares conforme a fórmula. - Substituímos na expressão acima e calculamos o valor aproximado da integral.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral
usando a regra de Simpson 1/3 composta com
subintervalos é aproximadamente 22,947.