integral0^6(cos x+x) d x
pela regra de 1 / 3 de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de usando a regra de Simpson 1/3 composta. Além disso, precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. Vamos usar conceitos de integração numérica para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson 1/3. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas e funciona melhor quando a função é suave. A fórmula geral da regra de Simpson 1/3 composta é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpar f(xi) + 2 sumpar f(xi) + f(xn) ] í
onde e é o número de subintervalos (deve ser par).

Passo 3

Agora, precisamos determinar o número de subintervalos |E| <= M (b - a)^5180 n^4 que garantirá que o erro da aproximação seja menor que 0,001. Para isso, usamos a estimativa de erro da regra de Simpson:
Aqui, é o máximo valor absoluto da quarta derivada da função no intervalo [0, 6]. Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Calculando a quarta derivada de f(x) = cos x + x :
f'(x) = -sin x + 1
f''(x) = -cos x
f'''(x) = sin x
f''''(x) = cos x
O valor máximo de é 1, já que o cosseno nunca excede 1 em valor absoluto. Portanto, .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
1 times (6 - 0)^5180 n^4 <= 0,001
7776180 n^4 <= 0,001
77760,001 times 180 <= n^4
77760,18 <= n^4
43200 <= n^4
Agora, tiramos a raiz quarta para encontrar n >= raiz[4]43200 approx 16,79 :
Como deve ser par, arredondamos para o próximo número par, que é 18.

Passo 6

Agora que sabemos que vamos usar h = b - an = 6 - 018 = 618 = 0,3333 subintervalos, calculamos o passo :

Passo 7

Vamos identificar os pontos de avaliação xi = a + i cdot h = 0 + i cdot 0,3333 para i = 0, 1, 2, ldots, 18 :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da regra de Simpson 1/3 composta:
integral0^6 (cos x + x) , dx approx 0,33333 [ f(x0) + 4 sumímpar f(xi) + 2 sumpar f(xi) + f(x18) ] í

Passo 9

Calculamos cada termo:
  • Calculamos para cada de 0 a 18.
  • Somamos os valores de para índices ímpares e pares conforme a fórmula.
  • Substituímos na expressão acima e calculamos o valor aproximado da integral.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral usando a regra de Simpson 1/3 composta com subintervalos é aproximadamente 22,947.

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