Nos problemas de 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
e
são números reais e
é um inteiro positivo.
29.
29.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o resultado do Problema 28, que provavelmente nos dá a transformada de funções básicas e algumas propriedades importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace básica que vamos precisar. Sabemos que:
Isso é válido para
, para garantir a convergência da transformada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda com isso, que diz que multiplicar a função original por
corresponde a tomar a derivada da transformada em relação a
e multiplicar por -1. Matematicamente, essa propriedade é:
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde
, temos:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 5
Calculando a derivada:
Então, a transformada de Laplace de
é
.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: