Nos problemas de 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo.
29. t e^(a t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o resultado do Problema 28, que provavelmente nos dá a transformada de funções básicas e algumas propriedades importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace básica que vamos precisar. Sabemos que:
Isso é válido para , para garantir a convergência da transformada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda com isso, que diz que multiplicar a função original por corresponde a tomar a derivada da transformada em relação a e multiplicar por -1. Matematicamente, essa propriedade é:

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde , temos:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 5

Calculando a derivada:
Então, a transformada de Laplace de é .

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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