Encontre o comprimento de arco da curva paramétrica.
x = 3 cos(t), y = 3 sen(t), z = 4 t ; 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco de uma curva parametrizada pelas funções , e , onde varia de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por :
Aqui, e são os limites de , que no nosso caso são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções , e em relação a :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Observamos que , então:
Portanto,

Passo 7

Agora, é só integrar:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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