Encontre o comprimento de arco da curva paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco de uma curva parametrizada pelas funções
, e
, onde
varia de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
:
Aqui,
e
são os limites de
, que no nosso caso são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções
,
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Observamos que , então:
Portanto,
Passo 7
Agora, é só integrar:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.