Encontre o comprimento de arco do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco do gráfico da função vetorial
no intervalo de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a sua norma e então integrar isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de
em relação a
nos dá a velocidade vetorial da curva.
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) da derivada
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso à nossa
:
Passo 4
O próximo passo é integrar a norma da derivada
no intervalo de
até
para encontrar o comprimento de arco
:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando
, percebemos que:
Portanto,
Passo 6
Agora, a integral fica bem mais simples:
Vamos calcular essa integral:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco do gráfico de
no intervalo de
a
é 28 unidades.