Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t).
r(t) = t^3 i + t j + (1/2) * raiz(6) * t^2 k ; 1 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco do gráfico da função vetorial no intervalo de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a sua norma e então integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada de em relação a nos dá a velocidade vetorial da curva.
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) da derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso à nossa :

Passo 4

O próximo passo é integrar a norma da derivada no intervalo de até para encontrar o comprimento de arco :

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando , percebemos que:
Portanto,

Passo 6

Agora, a integral fica bem mais simples:
Vamos calcular essa integral:
Simplificando:

Resposta

O comprimento de arco do gráfico de no intervalo de a é 28 unidades.

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