Determine se r(t) é uma função lisa de parâmetro t.
r(t) = sen(pi t) i + (2 t - ln t) j + (t^2 - t) k

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a função vetorial r(t) é lisa em relação ao parâmetro t. Uma função lisa é aquela que é diferenciável e tem derivadas contínuas. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra cada componente da função r(t) separadamente. A função está escrita assim:
Vamos identificar as três funções escalares:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções em relação a t.
Para x(t):
Para y(t):
Para z(t):

Passo 4

Agora que temos as derivadas, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio da função. Observando:
  • é contínua para todo t.
  • é contínua para (j�� que também requer ).
  • é contínua para todo t.
Todas as derivadas são contínuas no domínio , que é onde a função está definida.

Resposta

Sim, a função r(t) é lisa para .

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