Determine se
é uma função lisa de parâmetro
.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a função vetorial
é lisa em relação ao parâmetro
. Uma função lisa é aquela que é diferenciável e tem derivadas contínuas. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra cada componente da função
separadamente. A função está escrita assim:
Vamos identificar as três funções escalares:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas funções em relação a
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio da função. Observando:
-
é contínua para todo . -
é contínua para (j�� que também requer ). -
é contínua para todo .
Todas as derivadas são contínuas no domínio
, que é onde a função está definida.
Resposta
Sim, a função
é lisa para
.