f)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. Isso significa que a taxa de variação de
em relação a alguma variável (que normalmente é o tempo,
) é igual a
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma expressão para
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida
e suas derivadas. Resolver a equação significa encontrar a função
que satisfaz essa relação.
Passo 3
Nossa equação é uma equação diferencial de primeira ordem, porque a maior derivada envolvida é a primeira derivada
. Esse tipo de equação pode, muitas vezes, ser resolvido por separação de variáveis, que é o método que vamos usar agora.
Passo 4
A separação de variáveis envolve rearranjar a equação para que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as expressões com
fiquem do outro. Vamos fazer isso:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e por
para separar as variáveis.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a função
:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Calculando a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
A integral do lado direito é simples:
Mas já temos uma constante de integração no outro lado, então podemos considerar apenas uma constante geral.
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar
explicitamente em função de
pode não ser possível de forma simples, então geralmente deixamos a resposta nessa forma.
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
d)
.
Derive:
z)
z)
d)
e
.
Determine o ponto da curva
mais proximo do ponto
.