f) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: . Isso significa que a taxa de variação de em relação a alguma variável (que normalmente é o tempo, ) é igual a . Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma expressão para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida e suas derivadas. Resolver a equação significa encontrar a função que satisfaz essa relação.

Passo 3

Nossa equação é uma equação diferencial de primeira ordem, porque a maior derivada envolvida é a primeira derivada . Esse tipo de equação pode, muitas vezes, ser resolvido por separação de variáveis, que é o método que vamos usar agora.

Passo 4

A separação de variáveis envolve rearranjar a equação para que todas as expressões com fiquem de um lado e todas as expressões com fiquem do outro. Vamos fazer isso:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e por para separar as variáveis.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar a função :
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Calculando a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

A integral do lado direito é simples:
Mas já temos uma constante de integração no outro lado, então podemos considerar apenas uma constante geral.

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar explicitamente em função de pode não ser possível de forma simples, então geralmente deixamos a resposta nessa forma.

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

d) .
Derive:
z)
d) e .
Determine o ponto da curva mais proximo do ponto .