d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente métodos para resolver equações que envolvem derivadas de primeira ordem. Para resolver isso, a gente provavelmente vai precisar identificar se a equação é exata ou se dá para usar algum fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existir uma função tal que e . Isso facilita porque a gente consegue encontrar , onde é uma constante.
No nosso caso, podemos reescrever a equação para encaixar nesse formato:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Para a equação ser exata, essas duas derivadas precisam ser iguais:
Parece que não são iguais, então a equação não é exata. Agora, a gente precisa encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

O fator integrante geralmente depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar um fator que depende de , digamos .
Multiplicamos toda a equação por :
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Após algumas manipulações (que envolvem derivadas e igualando os termos), concluímos que encontrar pode ser complexo para essa equação específica. Portanto, nesse ponto, reconhecer que métodos alternativos ou simplificações podem ser necessários é importante.

Passo 5

Dado que a equação não é exata e o fator integrante não é facilmente identificável, uma abordagem alternativa pode ser usar uma substituição que simplifique a equação. Por exemplo, supondo , o que pode transformar a equação em uma forma mais tratável. Entretanto, essa substituição também pode complicar as coisas dependendo da presença de na equação original.
Sem informações adicionais ou simplificações, a resolução completa dessa equação pode requerer métodos avançados ou ferramentas computacionais.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata e não há um fator integrante óbvio que a torne exata facilmente. Portanto, métodos avançados ou substituições específicas são necessários para resolver completamente a equação.

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Derive:
z)
Derive:
x)
f) .
d) e .