Seja a função definida por Determine a série de Maclaurin para e mostre que ela converge para todos os valores de , mas que ela representa somente se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a série de Maclaurin da função , que é definida da seguinte forma:
A série de Maclaurin é basicamente a expansão em série de potências de uma função ao redor de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar séries de Maclaurin e entender como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função é dada por:
Onde é a n-ésima derivada de avaliada em 0. Então, para encontrar a série de Maclaurin, precisamos calcular todas as derivadas de em 0.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de para :
Agora, vamos avaliar . Mas olha só, quando se aproxima de 0, tende a 0 muito rápido, então .

Passo 4

Seguindo o mesmo raciocínio, vamos calcular a segunda derivada:
Isso resulta em termos que também envolvem multiplicados por potências de . Novamente, quando tende a 0, tudo isso vai para 0. Assim, .

Passo 5

Percebemos um padrão aqui: todas as derivadas de em 0 são iguais a 0. Isso acontece porque a função decai para 0 mais rápido do que qualquer potência de cresce quando se aproxima de 0.

Passo 6

Então, a série de Maclaurin de fica assim:

Passo 7

Agora, vamos ver a convergência dessa série. A série é simplesmente 0 em todos os termos, então ela converge para 0 para qualquer valor de .

Passo 8

Porém, olhando para a definição original de , vemos que apenas quando . Para , , que não é zero. Portanto, a série de Maclaurin representa apenas em .

Resposta

A série de Maclaurin para é simplesmente 0 para todos os termos:
Ela converge para todos os valores de , mas representa a função apenas quando .

Exercícios relacionados

(d) , quando o ponto ordinário for .
© Determine .
Para quais valores positivos de você pode substituir por com um erro que não ultrapasse do valor de ?
Use série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para . Qual é o raio de convergência?