Seja
a função definida por
Determine a série de Maclaurin para
e mostre que ela converge para todos os valores de
, mas que ela representa
somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a série de Maclaurin da função
, que é definida da seguinte forma:
A série de Maclaurin é basicamente a expansão em série de potências de uma função ao redor de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar séries de Maclaurin e entender como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Onde
é a n-ésima derivada de
avaliada em 0. Então, para encontrar a série de Maclaurin, precisamos calcular todas as derivadas de
em 0.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
para
:
Agora, vamos avaliar
. Mas olha só, quando
se aproxima de 0,
tende a 0 muito rápido, então
.
Passo 4
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos calcular a segunda derivada:
Isso resulta em termos que também envolvem
multiplicados por potências de
. Novamente, quando
tende a 0, tudo isso vai para 0. Assim,
.
Passo 5
Percebemos um padrão aqui: todas as derivadas de
em 0 são iguais a 0. Isso acontece porque a função
decai para 0 mais rápido do que qualquer potência de
cresce quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Então, a série de Maclaurin de
fica assim:
Passo 7
Agora, vamos ver a convergência dessa série. A série é simplesmente 0 em todos os termos, então ela converge para 0 para qualquer valor de
.
Passo 8
Porém, olhando para a definição original de
, vemos que
apenas quando
. Para
,
, que não é zero. Portanto, a série de Maclaurin representa
apenas em
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é simplesmente 0 para todos os termos:
Ela converge para todos os valores de
, mas representa a função
apenas quando
.
Exercícios relacionados
(d)
, quando o ponto ordinário for
.
© Determine
.
Para quais valores positivos de
você pode substituir
por
com um erro que não ultrapasse
do valor de
?
Use série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para
. Qual é o raio de convergência?