Para quais valores positivos de
você pode substituir
por
com um erro que não ultrapasse
do valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores positivos de
podemos substituir
por
sem que o erro seja maior que 1% do valor de
. Isso envolve entender funções logarítmicas e como controlar o erro em aproximações.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa substituir
por
. Basicamente, estamos dizendo que
. Mas queremos que essa aproximação tenha um erro que não passe de 1% de
. Matemática disso fica assim:
Passo 3
Como
é sempre menor que
para
(por isso a diferença é negativa), podemos tirar o valor absoluto e reescrever a desigualdade sem o módulo:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a desigualdade:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de
para os quais
é pelo menos 99% de
.
Passo 5
Para resolver
, geralmente não dá para encontrar uma solução exata usando álgebra simples. Então, a gente recorre a métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para aproximar o valor de
.
Após realizar os cálculos, descobrimos que o valor de
que satisfaz essa condição é aproximadamente
.
Resposta
Para valores positivos de
menores ou iguais a aproximadamente
, podemos substituir
por
com um erro que não ultrapassa 1% do valor de
.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida por
Determine a série de Maclaurin para
e mostre que ela converge para todos os valores de
, mas que ela representa
somente se
.
(d)
, quando o ponto ordinário for
.
Use série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para
. Qual é o raio de convergência?
Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
(a)
(a)