Para quais valores positivos de x você pode substituir ln(1+x) por x com um erro que não ultrapasse 1% do valor de x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores positivos de podemos substituir por sem que o erro seja maior que 1% do valor de . Isso envolve entender funções logarítmicas e como controlar o erro em aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa substituir por . Basicamente, estamos dizendo que . Mas queremos que essa aproximação tenha um erro que não passe de 1% de . Matemática disso fica assim:

Passo 3

Como é sempre menor que para (por isso a diferença é negativa), podemos tirar o valor absoluto e reescrever a desigualdade sem o módulo:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a desigualdade:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de para os quais é pelo menos 99% de .

Passo 5

Para resolver , geralmente não dá para encontrar uma solução exata usando álgebra simples. Então, a gente recorre a métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para aproximar o valor de .
Após realizar os cálculos, descobrimos que o valor de que satisfaz essa condição é aproximadamente .

Resposta

Para valores positivos de menores ou iguais a aproximadamente , podemos substituir por com um erro que não ultrapassa 1% do valor de .

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