(d) y'' + y' - 2y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica e usar essas raízes para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais.

Passo 5

Primeiro, aplicamos :
çã
Em seguida, calculamos a derivada de :
Aplicamos :
çã
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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