(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica e usar essas raízes para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
:
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Aplicamos
:
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial é: