Mostre que se an for limitada e lim n infty bn=0, então lim n infty(an bn)=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas sequências de números:
  1. an, que é limitada. Isso significa que existe um número M tal que todos os termos an estão entre -M e M.
  2. bn, cuja limite quando n tende ao infinito é 0, ou seja, limn infty bn = 0.
Queremos provar que o produto dessas duas sequências também tende a zero quando n tende ao infinito: limn infty (an bn) = 0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma sequência é limitada. Dizemos que an é limitada se existe um número real positivo M tal que para todo n, temos:
|an| <= M
Isso nos dá um controle sobre o tamanho dos termos de an.

Passo 3

Sabemos que limn infty bn = 0. Isso significa que, para qualquer número positivo pequeno epsilon, existe um número N tal que para todo n >= N, temos:
|bn| < epsilonM
Aqui, estamos escolhendo epsilonM para facilitar a nossa demonstração.

Passo 4

Agora, consideremos o produto an bn. Queremos mostrar que seu limite também é zero. Vamos avaliar o valor absoluto desse produto:
|an bn| = |an| cdot |bn|
Como an é limitada por M, temos:
|an bn| <= M cdot |bn|

Passo 5

Como determinamos anteriormente que |bn| < epsilonM para n >= N, podemos substituir na inequação:
|an bn| <= M cdot epsilonM = epsilon
Isso mostra que para todo n >= N, o valor absoluto de an bn é menor que epsilon.

Resposta

Portanto, mostramos que limn infty (an bn) = 0.

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