Mostre que se
for limitada e
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas sequências de números:
-
, que é limitada. Isso significa que existe um número tal que todos os termos estão entre e . -
, cuja limite quando tende ao infinito é , ou seja, .
Queremos provar que o produto dessas duas sequências também tende a zero quando
tende ao infinito:
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma sequência é limitada. Dizemos que
é limitada se existe um número real positivo
tal que para todo
, temos:
Isso nos dá um controle sobre o tamanho dos termos de
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, para qualquer número positivo pequeno
, existe um número
tal que para todo
, temos:
Aqui, estamos escolhendo
para facilitar a nossa demonstração.
Passo 4
Agora, consideremos o produto
. Queremos mostrar que seu limite também é zero. Vamos avaliar o valor absoluto desse produto:
Como
é limitada por
, temos:
Passo 5
Como determinamos anteriormente que
para
, podemos substituir na inequação:
Isso mostra que para todo
, o valor absoluto de
é menor que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.