Mostre que se
for limitada e
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas sequências de números:
-
, que é limitada. Isso significa que existe um número tal que todos os termos estão entre e . -
, cuja limite quando tende ao infinito é , ou seja, .
Queremos provar que o produto dessas duas sequências também tende a zero quando
tende ao infinito:
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma sequência é limitada. Dizemos que
é limitada se existe um número real positivo
tal que para todo
, temos:
Isso nos dá um controle sobre o tamanho dos termos de
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, para qualquer número positivo pequeno
, existe um número
tal que para todo
, temos:
Aqui, estamos escolhendo
para facilitar a nossa demonstração.
Passo 4
Agora, consideremos o produto
. Queremos mostrar que seu limite também é zero. Vamos avaliar o valor absoluto desse produto:
Como
é limitada por
, temos:
Passo 5
Como determinamos anteriormente que
para
, podemos substituir na inequação:
Isso mostra que para todo
, o valor absoluto de
é menor que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
(d)
Para ter uma ideia mais concreta da velocidade de crescimento da exponencial, vamos dar um exemplo muito concreto. Você já notou como é difícil dobrar uma folha de papel pela metade muitas vezes? Tente dobrar uma folha ao meio mais do que 7 vezes para ter uma noção. A espessura de uma folha dobrada
vezes é de aproximadamente:
Alguns valores de
são dados na tabela abaixo:
|
|
---|---|
1 |
|
12 |
|
23 |
|
30 |
|
42 |
|
51 |
|
103 |
|
Relembrando que a função
é a inversa de
, tente entender o quão lerdo é seu crescimento. Por exemplo, quão grande você precisa que
seja para que
seja maior que 103? Dê alguma estimativa.
A respeito da função
, julgue as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Esboce o gráfico das funções a seguir:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)