Mostre que se for limitada e , então .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas sequências de números:
  1. , que é limitada. Isso significa que existe um número tal que todos os termos estão entre e .
  2. , cuja limite quando tende ao infinito é , ou seja, .
Queremos provar que o produto dessas duas sequências também tende a zero quando tende ao infinito: .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma sequência é limitada. Dizemos que é limitada se existe um número real positivo tal que para todo , temos:
Isso nos dá um controle sobre o tamanho dos termos de .

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, para qualquer número positivo pequeno , existe um número tal que para todo , temos:
Aqui, estamos escolhendo para facilitar a nossa demonstração.

Passo 4

Agora, consideremos o produto . Queremos mostrar que seu limite também é zero. Vamos avaliar o valor absoluto desse produto:
Como é limitada por , temos:

Passo 5

Como determinamos anteriormente que para , podemos substituir na inequação:
Isso mostra que para todo , o valor absoluto de é menor que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

(d)
Para ter uma ideia mais concreta da velocidade de crescimento da exponencial, vamos dar um exemplo muito concreto. Você já notou como é difícil dobrar uma folha de papel pela metade muitas vezes? Tente dobrar uma folha ao meio mais do que 7 vezes para ter uma noção. A espessura de uma folha dobrada vezes é de aproximadamente:
Alguns valores de são dados na tabela abaixo:
1
12
23
30
42 (distância até a Lua)
51 (distância até o Sol)
103 anos luz (diâmetro do universo visível)
Relembrando que a função é a inversa de , tente entender o quão lerdo é seu crescimento. Por exemplo, quão grande você precisa que seja para que seja maior que 103? Dê alguma estimativa.
A respeito da função , julgue as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa:
(a)
(b)
©
(d)
Esboce o gráfico das funções a seguir:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)