Derive:
x) arccos (x)(arctg(x)+xx^2+1) raiz1-x^2+x cdot arctg(x)arccos ^2(x) raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão que precisa ser derivada. O conteúdo principal envolve derivadas de funções compostas, como arco-cosseno ( ) e arco-tangente (), além de funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da expressão que vamos derivar. A expressão é uma fração onde o numerador é:
E o denominador é:
arccos(x)(arctg(x) + xx^2 + 1) raiz1 - x^2 + x cdot arctg(x)
Vamos chamar o numerador de arccos^2(x) raiz1 - x^2 e o denominador de y = ND , então a expressão fica:
Queremos encontrar , a derivada dessa expressão.

Passo 3

Para derivar uma fração ddx(ND) = D cdot dNdx - N cdot dDdxD^2 , usamos a regra do quociente, que diz:
Então, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando N = arccos(x)(arctg(x) + xx^2 + 1) raiz1 - x^2 + x cdot arctg(x) :
Esse numerador tem duas partes somadas. Vamos derivar cada parte individualmente.

Passo 5

Primeiro, derivamos a primeira parte de arccos(x)(arctg(x) + xx^2 + 1) raiz1 - x^2 :
Para isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de três funções: , , e . Vamos derivar cada uma:

Passo 6

Depois de derivar cada parte, combinamos usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos a segunda parte de x cdot arctg(x) :
Usamos a regra do produto:

Passo 8

Agora, combinamos as duas derivadas para obter dNdx = -(arctg(x) + xx^2 + 1) + arccos(x) (11 + x^2 + 1 - x^2(x^2 + 1)^2) raiz1 - x^2 - arccos(x)(arctg(x) + xx^2 + 1) xraiz1 - x^2 + arctg(x) + x1 + x^2 :
Simplificando termos semelhantes:

Passo 9

Agora, vamos derivar o denominador D = arccos^2(x) raiz1 - x^2 :
dDdx = 2 arccos(x) cdot (-1raiz1 - x^2) raiz1 - x^2 + arccos^2(x) cdot -xraiz1 - x^2
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
= -2 arccos(x) + -x arccos^2(x)raiz1 - x^2
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar dydx = D cdot dNdx - N cdot dDdxD^2 :
Substituindo , e na fórmula, teremos uma expressão extensa. Entretanto, para simplificar, observamos que muitos termos se cancelam ou se combinam de forma a reduzir a expressão final.

Resposta

Após simplificar os termos, a derivada da expressão dada é:
Essa é a derivada da expressão fornecida em termos de dydx = arccos(x) (11 + x^2 + 1 - x^2(x^2 + 1)^2) raiz1 - x^2 - arccos(x)(arctg(x) + xx^2 + 1) xraiz1 - x^2 - 2 arccos(x) [arccos^2(x) raiz1 - x^2]arccos^4(x) (1 - x^2) .

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