Derive:
x)
x)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão que precisa ser derivada. O conteúdo principal envolve derivadas de funções compostas, como arco-cosseno (
) e arco-tangente (), além de funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da expressão que vamos derivar. A expressão é uma fração onde o numerador é:
E o denominador é:
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
, então a expressão fica:
Queremos encontrar
, a derivada dessa expressão.
Passo 3
Para derivar uma fração
, usamos a regra do quociente, que diz:
Então, precisamos derivar o numerador
e o denominador
separadamente.
Passo 4
Vamos começar derivando
:
Esse numerador tem duas partes somadas. Vamos derivar cada parte individualmente.
Passo 5
Primeiro, derivamos a primeira parte de
:
Para isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de três funções:
, , e
. Vamos derivar cada uma:
Passo 6
Depois de derivar cada parte, combinamos usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, derivamos a segunda parte de
:
Usamos a regra do produto:
Passo 8
Agora, combinamos as duas derivadas para obter
:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 9
Agora, vamos derivar o denominador
:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar
:
Substituindo
,
e
na fórmula, teremos uma expressão extensa. Entretanto, para simplificar, observamos que muitos termos se cancelam ou se combinam de forma a reduzir a expressão final.
Resposta
Após simplificar os termos, a derivada da expressão dada é:
Essa é a derivada da expressão fornecida em termos de
.
Exercícios relacionados
Derive:
s)
s)
Derive:
o)
o)
Derive:
z)
z)
d)
.