d^2y/dt^2 - 4 dy/dt - 5y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por r^2 e dy/dt por r, ficando:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2. Primeiro, para :
Em seguida, derivamos y(t) para encontrar y'(t):
Aplicando a segunda condição :

Passo 6

Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo C1 na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Ou, simplificando:

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e) f(x) = 5 x^2 + 6 x - 1;
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