Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
e
por
, ficando:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Primeiro, para
:
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Aplicando a segunda condição
:
Passo 6
Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou, simplificando:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
e) ;
e)
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
a) ;
a)
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f) .
f)
Revisão de derivada. Calcule
nos seguintes casos:
c)
c)