Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar o limite da diferença quociente. Além disso, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando
tende a zero da diferença entre
e
, dividida por
.
Passo 3
Vamos substituir a função na fórmula da derivada. Nossa função é
, então:
Agora, montamos a diferença quociente:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos combinar as frações no numerador:
Então, a diferença quociente fica:
Passo 5
Para facilitar o cálculo do limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos por
:
No numerador, aplicamos a identidade
:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Cancelando o
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, vamos tirar o limite quando
tende a zero. Quando
vai para zero,
tende a
. Então, substituindo
:
Passo 9
Simplificando a expressão final:
Resposta
A derivada da função
é:
O domínio da função
e de sua derivada
é
.
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e) ;
e)
Revisão de derivada. Calcule
nos seguintes casos:
c)
c)
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.