Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
e)
;
e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada. Para isso, vamos utilizar os conceitos básicos de cálculo diferencial, especialmente a definição de derivada pela diferença quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Explicando, substituímos
por
na função original.
Passo 4
Agora, expandimos
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Distribuindo os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 7
Substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando
:
Passo 8
Finalmente, ao calcular o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é
.
Os domínios são:
- Domínio da função
: (todos os números reais). - Domínio da derivada
: (todos os números reais).
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
a) ;
a)
Encontre a equação da reta
que passa pelo ponto
e que é paralela à reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f) .
f)