Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que envolvem encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos tentar reduzir a ordem da equação. Suponha que
. No entanto, uma abordagem mais direta é assumir uma solução de forma
e determinar o valor de
.
Passo 4
Vamos tentar
. Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Passo 6
Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Com
, a segunda equação também é satisfeita:
Isso indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral.
Isso indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral.
Passo 8
Encontramos uma solução particular da equação homogênea:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor que
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 10
Calculando as derivadas:
Passo 11
Substituindo
e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
E os termos de
e
devem coincidir:
: Não há termos do lado esquerdo, então devemos ajustar nossa suposição para incluir
.
Passo 13
Vamos ajustar nossa suposição para
e recalcular as derivadas.
Passo 14
Calculando as derivadas:
Passo 15
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 16
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 17
Igualando os coeficientes:
- Constante:
-
: -
: (confirmando o valor)
Agora, substituindo
na primeira equação:
Mas ainda precisamos de outra equação para resolver
e
. Observando que não há termos de
no lado direito, já cobrimos todas as equações necessárias. Podemos assumir
e
.
Passo 18
Assim, nossa solução particular é:
Passo 19
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: