Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que envolvem encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos tentar reduzir a ordem da equação. Suponha que
. No entanto, uma abordagem mais direta é assumir uma solução de forma
e determinar o valor de
.
Passo 4
Vamos tentar
. Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Passo 6
Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Com
, a segunda equação também é satisfeita:
Isso indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral.
Isso indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral.
Passo 8
Encontramos uma solução particular da equação homogênea:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor que
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 10
Calculando as derivadas:
Passo 11
Substituindo
e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
E os termos de
e
devem coincidir:
: Não há termos do lado esquerdo, então devemos ajustar nossa suposição para incluir
.
Passo 13
Vamos ajustar nossa suposição para
e recalcular as derivadas.
Passo 14
Calculando as derivadas:
Passo 15
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 16
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 17
Igualando os coeficientes:
- Constante:
-
: -
: (confirmando o valor)
Agora, substituindo
na primeira equação:
Mas ainda precisamos de outra equação para resolver
e
. Observando que não há termos de
no lado direito, já cobrimos todas as equações necessárias. Podemos assumir
e
.
Passo 18
Assim, nossa solução particular é:
Passo 19
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
is a complex-valued solution of Euler
(b) Show that
and
are real-valued solutions of (*).
Hint:
.
(b) Find a particular solution of the equation
(b) Find a particular solution of the equation
Encontre
, justificando todas as suas passagens.
(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
(b) Find one solution of the form
© Find a second solution using the method of reduction of order.