d^2y/dt^2 - 2t/(1+t^2) dy/dt + 2/(1+t^2) y = 1+t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que envolvem encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos tentar reduzir a ordem da equação. Suponha que . No entanto, uma abordagem mais direta é assumir uma solução de forma e determinar o valor de .

Passo 4

Vamos tentar . Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo , e na equação homogênea:

Passo 6

Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Com , a segunda equação também é satisfeita:

Isso indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral.

Passo 8

Encontramos uma solução particular da equação homogênea:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos supor que , onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 10

Calculando as derivadas:

Passo 11

Substituindo e suas derivadas na equação:
Simplificando:

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
E os termos de e devem coincidir:
: Não há termos do lado esquerdo, então devemos ajustar nossa suposição para incluir .

Passo 13

Vamos ajustar nossa suposição para e recalcular as derivadas.

Passo 14

Calculando as derivadas:

Passo 15

Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 16

Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Simplificando:

Passo 17

Igualando os coeficientes:
  1. Constante:
  2. :
  3. : (confirmando o valor)
Agora, substituindo na primeira equação:
Mas ainda precisamos de outra equação para resolver e . Observando que não há termos de no lado direito, já cobrimos todas as equações necessárias. Podemos assumir e .

Passo 18

Assim, nossa solução particular é:

Passo 19

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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