Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide
.
Passo 1
Beleza, temos uma questão de Cálculo Vetorial aqui. Queremos descobrir o trabalho que um campo de força
faz sobre um objeto que se move ao longo de um caminho definido por uma cicloide
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho em campos de força e fazer uma integral do produto escalar do campo com o deslocamento ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a trajetória do objeto. A cicloide é dada por:
Isso significa que as coordenadas
e
em função do tempo
são:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
para encontrar o vetor velocidade
:
Passo 4
O trabalho
realizado pelo campo de força é dado pela integral do produto escalar de
com
ao longo do caminho. Matematicamente:
Passo 5
Vamos substituir
usando as coordenadas da trajetória:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 8
Essa integral pode ser um pouco complicada de resolver diretamente. Mas vamos notar que o campo
é conservativo, o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso facilita bastante nossa vida!
Passo 9
Para confirmar que
é conservativo, encontramos um potencial
tal que:
Integrando, obtemos:
Onde
é uma constante que podemos ignorar para o cálculo do trabalho.
Passo 10
Agora, calculamos o potencial
nos pontos inicial e final da trajetória.
Ponto inicial (
):
Ponto final (
):
Passo 11
Finalmente, o trabalho realizado é a diferença do potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
.
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no terreno sombreado, e a
na estrada OB. Admita que ele parte de A e caminha em linha reta até chegar em OB. Como deve o indivíduo proceder?
Figura 1: scale
5a. Resolva a equação mais simples
Denote a solução por
.
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
e)
Determine a série de Fourier na forma exponencial de