Determine o trabalho realizado pelo campo de força sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide .

Passo 1

Beleza, temos uma questão de Cálculo Vetorial aqui. Queremos descobrir o trabalho que um campo de força faz sobre um objeto que se move ao longo de um caminho definido por uma cicloide , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho em campos de força e fazer uma integral do produto escalar do campo com o deslocamento ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a trajetória do objeto. A cicloide é dada por:
Isso significa que as coordenadas e em função do tempo são:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo para encontrar o vetor velocidade :

Passo 4

O trabalho realizado pelo campo de força é dado pela integral do produto escalar de com ao longo do caminho. Matematicamente:

Passo 5

Vamos substituir usando as coordenadas da trajetória:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da integral:

Passo 8

Essa integral pode ser um pouco complicada de resolver diretamente. Mas vamos notar que o campo é conservativo, o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso facilita bastante nossa vida!

Passo 9

Para confirmar que é conservativo, encontramos um potencial tal que:
Integrando, obtemos:
Onde é uma constante que podemos ignorar para o cálculo do trabalho.

Passo 10

Agora, calculamos o potencial nos pontos inicial e final da trajetória.
Ponto inicial ( ):
Ponto final ( ):

Passo 11

Finalmente, o trabalho realizado é a diferença do potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é .

Exercícios relacionados

Um indivíduo partindo de um ponto A quer chegar a um ponto B[Veja a Figura 1] no menor tempo possível. Ele caminha a uma velocidade no terreno sombreado, e a na estrada OB. Admita que ele parte de A e caminha em linha reta até chegar em OB. Como deve o indivíduo proceder?
Figura 1: scale
5a. Resolva a equação mais simples
Denote a solução por .
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
Determine a série de Fourier na forma exponencial de