d y/d t = 2 y - 2 y t, y(0) = 3
e determine seu valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você enviou é uma equação diferencial com a seguinte forma:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar e, em seguida, determinar o valor máximo que atinge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Aqui, percebemos que a taxa de variação de em relação a depende de e de de forma multiplicativa, o que sugere que podemos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 3

A separação de variáveis envolve reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar cada lado separadamente.
À esquerda:
À direita:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante .

Passo 5

Igualando as integrais:
Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar para uma constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Para encontrar o valor máximo de , precisamos determinar o ponto em que atinge seu pico. Isso acontece onde a derivada é zero.
Já temos a derivada:
Então, para :
Como nunca é zero (já que é uma exponencial positiva), temos:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de para encontrar o valor máximo:

Resposta

O valor máximo de é .

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