e determine seu valor máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você enviou é uma equação diferencial com a seguinte forma:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
e, em seguida, determinar o valor máximo que
atinge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Aqui, percebemos que a taxa de variação de
em relação a
depende de
e de
de forma multiplicativa, o que sugere que podemos usar o método de separação de variáveis para resolver.
Passo 3
A separação de variáveis envolve reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar
.
Passo 4
Vamos integrar cada lado separadamente.
À esquerda:
À direita:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
.
Passo 5
Igualando as integrais:
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Para encontrar o valor máximo de
, precisamos determinar o ponto em que
atinge seu pico. Isso acontece onde a derivada
é zero.
Já temos a derivada:
Então, para
:
Como
nunca é zero (já que é uma exponencial positiva), temos:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
para encontrar o valor máximo:
Resposta
O valor máximo de
é
.
Exercícios relacionados
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução
.
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução
. Assim, perdemos a solução
quando dividirmos por
.
(b) Mostre que
© Mostre que não existe escolha da constante
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
(a)
então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral pra
.
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial
.