e determine seu valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você enviou é uma equação diferencial com a seguinte forma:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar e, em seguida, determinar o valor máximo que atinge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Aqui, percebemos que a taxa de variação de em relação a depende de e de de forma multiplicativa, o que sugere que podemos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 3

A separação de variáveis envolve reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar cada lado separadamente.
À esquerda:
À direita:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante .

Passo 5

Igualando as integrais:
Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar para uma constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Para encontrar o valor máximo de , precisamos determinar o ponto em que atinge seu pico. Isso acontece onde a derivada é zero.
Já temos a derivada:
Então, para :
Como nunca é zero (já que é uma exponencial positiva), temos:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de para encontrar o valor máximo:

Resposta

O valor máximo de é .

Exercícios relacionados

Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação
para derivar a solução .
(b) Mostre que satisfaz a equação original
© Mostre que não existe escolha da constante que fará a solução no item (a) gerar a solução . Assim, perdemos a solução quando dividirmos por .
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
então, a equação tem um fator integrante na forma . Dê a fórmula geral pra .
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial .