Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para verificar se todas as funções do tipo
são soluções da equação diferencial
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e substituição em equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
é uma função que depende de
, e
e
são constantes. Para verificar se
satisfaz a equação diferencial, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
. A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
é um pouco mais trabalhosa, mas usamos a regra do produto:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. A derivada de
é zero, e a derivada de
é:
Portanto,
Passo 5
Com
,
e
calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
-
permanece igual
Agora, somando todos os termos:
Passo 7
Observe que muitos termos se cancelam:
-
e se cancelam -
e se cancelam -
e se cancelam
O que fica é:
Resposta
Como todos os termos se cancelam e a equação final
é verdadeira, verificamos que toda função da família
é realmente uma solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Determine (se fizer sentido) sen
e
para os valores de
abaixo.
© .
©
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.