Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para verificar se todas as funções do tipo são soluções da equação diferencial . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e substituição em equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que é uma função que depende de , e e são constantes. Para verificar se satisfaz a equação diferencial, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada . A derivada de em relação a é . A derivada de é um pouco mais trabalhosa, mas usamos a regra do produto:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . A derivada de é zero, e a derivada de é:
Portanto,

Passo 5

Com , e calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual
Agora, somando todos os termos:

Passo 7

Observe que muitos termos se cancelam:
  • e se cancelam
  • e se cancelam
  • e se cancelam
O que fica é:

Resposta

Como todos os termos se cancelam e a equação final é verdadeira, verificamos que toda função da família é realmente uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Determine (se fizer sentido) sen e para os valores de abaixo.
© .
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.