é desse tipo. Mostre por derivação e substituição que ela possui a solução geral
também a solução singular
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo é mostrar, por meio de derivação e substituição, que essa equação possui uma solução geral dada por:
e também uma solução singular:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como encontrar suas soluções gerais e singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação diferencial. Observamos que ela é não linear devido ao termo
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais manejável. Vamos chamar:
Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, como temos
, podemos pensar em
como uma função de
. Mas, para resolver essa equação, podemos tratar
como uma função linear de
. Vamos supor que a solução geral seja da forma:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 4
Vamos verificar se essa suposição satisfaz a equação diferencial original. Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, temos que
. Isso implica que
ou
. Se considerarmos que
, a equação se valida.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução singular. A solução singular é uma solução específica que não pertence à família de soluções gerais. Para encontrá-la, podemos usar a condição de envelope das soluções gerais.
Primeiro, escrevemos a solução geral de forma implícita:
Vamos derivar essa expressão em relação a
para encontrar a condição de envelope:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo esse valor de
na expressão da solução geral:
Considerando que
, temos:
Essa é a solução singular que queríamos mostrar.
Resposta
Portanto, demonstramos que a equação diferencial dada possui a solução geral:
e também a solução singular:
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Classifique as Equações Diferenciais quanto ao tipo (EDO e EDP), ordem e grau.
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para qualquer escolhas das constantes
e
. Determine
e
de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja seja satisfeita.
1.1.
1.2.
1.1.
1.2.
para alguma constante positiva
. Fazendo
, obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo
, vemos que
satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.