y'² - x y' + y = 0
é desse tipo. Mostre por derivação e substituição que ela possui a solução geral y = c x - c^2 e também a solução singular y = x^2 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo é mostrar, por meio de derivação e substituição, que essa equação possui uma solução geral dada por:
e também uma solução singular:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como encontrar suas soluções gerais e singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação diferencial. Observamos que ela é não linear devido ao termo . Para facilitar, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais manejável. Vamos chamar:
Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, como temos , podemos pensar em y como uma função de x. Mas, para resolver essa equação, podemos tratar y como uma função linear de x. Vamos supor que a solução geral seja da forma:
onde c é uma constante arbitrária.

Passo 4

Vamos verificar se essa suposição satisfaz a equação diferencial original. Primeiro, encontramos a derivada de y em relação a x:
Agora, vamos substituir y e na equação original:
Simplificando:
Para que isso seja verdadeiro para todo x, temos que . Isso implica que ou . Se considerarmos que , a equação se valida.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução singular. A solução singular é uma solução específica que não pertence à família de soluções gerais. Para encontrá-la, podemos usar a condição de envelope das soluções gerais.
Primeiro, escrevemos a solução geral de forma implícita:
Vamos derivar essa expressão em relação a c para encontrar a condição de envelope:
Resolvendo para c:

Passo 6

Substituindo esse valor de c na expressão da solução geral:
Considerando que , temos:
Essa é a solução singular que queríamos mostrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que a equação diferencial dada possui a solução geral:
e também a solução singular:

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