Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, e vamos precisar usar umas técnicas para resolver equações de segunda ordem. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação pra facilitar. Vamos chamar
de
. Assim,
vira
. Substituindo na equação original, temos:
Passo 3
Agora, essa é uma equação diferencial de primeira ordem pra
. Ela é conhecida como equação separável, ou seja, dá pra separar as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos separar as variáveis assim:
Passo 5
Aí, a gente integra os dois lados:
Isso resulta em:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Por último, vamos integrar de novo pra achar
:
Isso dá:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
e
são constantes.
Exercícios relacionados
Se
for um polinômio, então
.
Se
e
, então
não existe.
Se
existe, então o limite deve ser
.
Questão 3 (6 pontos). Seja
. Calcule
e esboce seu gráfico.