Se lim x 5 f(x)=0 e lim x 5 g(x)=0, então lim x 5[f(x) / g(x)] não existe.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções, limx to 5 f(x) = 0 e limx to 5 g(x) = 0 e , e sabemos que quando se aproxima de 5, ambas tendem a 0. Ou seja:
O que a questão quer saber é se o limite da divisão dessas duas funções, , quando se aproxima de 5, existe ou não.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de limites e formas indeterminadas na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o limite de uma divisão, a gente pode tentar dividir os limites das funções, mas tem que ter cuidado. A regra geral é:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f(x)limx to a g(x)
Mas aí, se o denominador (nesse caso, ) tende a 0, a gente fica com uma situação especial chamada de forma indeterminada.

Passo 3

Uma forma indeterminada acontece quando substituímos diretamente no limite e temos algo como 00 ou . Nesse caso, a expressão não está definida e não dá pra concluir direto se o limite existe ou qual é o valor.
No nosso caso, como e , ao tentar calcular , a gente tem:
Isso é uma forma indeterminada, então a gente precisa de mais informações para saber se o limite existe ou não.

Passo 4

Agora, porque é chamada de indeterminada, significa que dependendo das funções f(x)g(x) = x - 5x - 5 = 1 e limx to 5 f(x)g(x) = 1 , o limite f(x)g(x) = x - 5(x - 5)^2 = 1x - 5 pode existir ou não.
Por exemplo:
  • Se limx to 5 1x - 5 = infty (não existe no sentido real) , então:
Então:
Aqui, o limite existe e é igual a 1.
  • Mas se e , então:
E agora, olhando o comportamento quando se aproxima de 5:
ã
Nesse caso, o limite não existe.

Passo 5

Então, voltando à afirmação da questão:
Se limx to 5 f(x) = 0 e limx to 5 g(x) = 0, então limx to 5 f(x)g(x) não existe ãã
A gente viu que isso nem sempre é verdade. Em alguns casos, o limite existe, e em outros, não. Portanto, a afirmação geral de que o limite não existe é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Se e , o limite pode existir ou não, dependendo das funções e .

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