Se
e
, então
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções,
e
, e sabemos que quando
se aproxima de 5, ambas tendem a 0. Ou seja:
O que a questão quer saber é se o limite da divisão dessas duas funções,
, quando
se aproxima de 5, existe ou não.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de limites e formas indeterminadas na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos o limite de uma divisão, a gente pode tentar dividir os limites das funções, mas tem que ter cuidado. A regra geral é:
Mas aí, se o denominador (nesse caso,
) tende a 0, a gente fica com uma situação especial chamada de forma indeterminada.
Passo 3
Uma forma indeterminada acontece quando substituímos diretamente no limite e temos algo como
ou
. Nesse caso, a expressão não está definida e não dá pra concluir direto se o limite existe ou qual é o valor.
No nosso caso, como
e
, ao tentar calcular
, a gente tem:
Isso é uma forma indeterminada, então a gente precisa de mais informações para saber se o limite existe ou não.
Passo 4
Agora, porque é chamada de indeterminada, significa que dependendo das funções
e
, o limite
pode existir ou não.
Por exemplo:
- Se
, então:
Então:
Aqui, o limite existe e é igual a 1.
- Mas se
e , então:
E agora, olhando o comportamento quando
se aproxima de 5:
Nesse caso, o limite não existe.
Passo 5
Então, voltando à afirmação da questão:
A gente viu que isso nem sempre é verdade. Em alguns casos, o limite existe, e em outros, não. Portanto, a afirmação geral de que o limite não existe é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Se
e
, o limite
pode existir ou não, dependendo das funções
e
.
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Se
existe mas
não existe, então
não existe.
Se
e
não existem, então
não existe.
Se
for um polinômio, então
.