Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que basicamente relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica adequada para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar os termos com de um lado e os demais do outro. Assim:
Essa organização ajuda a identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear da forma:
onde e .

Passo 3

Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Observando a integral:
Perceba que pode ser reescrito como . Então:
Fazendo uma substituição, deixamos , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha ao redor de uma curva fechada simples dá duas vezes a área da região delimitada por .
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
Determine os pontos críticos das funções:
a)
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.