Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que basicamente relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica adequada para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar os termos com
de um lado e os demais do outro. Assim:
Essa organização ajuda a identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear da forma:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito. Observando a integral:
Perceba que
pode ser reescrito como
. Então:
Fazendo uma substituição, deixamos
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante real qualquer.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha
ao redor de uma curva fechada simples
dá duas vezes a área da região delimitada por
.
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
h)
Determine os pontos críticos das funções:
a)
a)
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.
31.