Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha
ao redor de uma curva fechada simples
dá duas vezes a área da região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial, para mostrar que a integral de linha
em torno de uma curva fechada simples
é igual ao dobro da área da região limitada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e relacionar a integral de linha com a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
são funções que definem o campo vetorial.
Passo 3
No nosso caso, a integral de linha é
. Vamos identificar
e
:
Substituindo esses valores na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo essas derivadas na integral dupla:
Passo 5
A integral
é simplesmente
vezes a área da região
delimitada pela curva
. Ou seja:
Resposta
Portanto, a integral de linha
ao redor de uma curva fechada simples
é igual a duas vezes a área da região delimitada por
:
Exercícios relacionados
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
h)
Seja
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em
na direção de
para
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de
Determine os pontos críticos das funções:
a)
a)