Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha ao redor de uma curva fechada simples dá duas vezes a área da região delimitada por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial, para mostrar que a integral de linha em torno de uma curva fechada simples é igual ao dobro da área da região limitada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e relacionar a integral de linha com a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e são funções que definem o campo vetorial.

Passo 3

No nosso caso, a integral de linha é . Vamos identificar e :
Substituindo esses valores na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo essas derivadas na integral dupla:

Passo 5

A integral é simplesmente vezes a área da região delimitada pela curva . Ou seja:
á

Resposta

Portanto, a integral de linha ao redor de uma curva fechada simples é igual a duas vezes a área da região delimitada por :
á

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Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
Seja .
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em na direção de para .
Determine os pontos críticos das funções:
a)