Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31.
;
.
31.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função
definida como
para
e que se repete a cada 1 unidade de tempo, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções periódicas e como aplicar a Transformada de Laplace em funções que se repetem no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace para uma função periódica
com período
é dada por:
No nosso caso, o período
é 1, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral:
Precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar o método de integração por partes.
Passo 4
Vamos aplicar a integração por partes onde:
-
⇒ -
⇒
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando isso:
Agora, integraremos
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na fórmula da Transformada de Laplace:
Simplificando um pouco, temos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos das funções:
a)
a)
Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva
, onde
é a elipse
.
Determine a integral
, onde
é o círculo
, usando o Teorema de Green.