Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
31. ;
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida como para e que se repete a cada 1 unidade de tempo, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções periódicas e como aplicar a Transformada de Laplace em funções que se repetem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, o período é 1, então a fórmula fica:

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
Precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 4

Vamos aplicar a integração por partes onde:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando isso:
Agora, integraremos :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão de a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula da Transformada de Laplace:
Simplificando um pouco, temos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos das funções:
a)
Use o Teorema de Green para determinar a área da região delimitada pela curva , onde é a elipse .
Determine a integral , onde é o círculo , usando o Teorema de Green.