Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h)
, g constante
h)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação de derivadas parciais dada por:
Aqui,
é uma constante. O conteúdo envolvido é a separação de variáveis, uma técnica usada para resolver equações diferenciais parciais encontrando soluções que podem ser expressas como o produto de funções de variáveis únicas. Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar essa técnica e buscar uma solução na forma de produto.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável única:
Essa é a ideia central da separação de variáveis: separar a função em partes que dependem apenas de
ou apenas de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos reorganizar os termos para facilitar a separação:
Passo 5
Dividimos ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Observe que o lado esquerdo depende apenas de
e
, enquanto o lado direito depende de ambas as variáveis multiplicadas, o que complica a separação. Para que a igualdade seja verdadeira para todos os
e
, cada lado deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Igualando os termos a uma constante
, temos duas equações:
- Para a parte que depende de
:
- Para a parte que depende de
:
E ainda temos:
Isso implica que
, mas como
é uma constante dada, para que a separação faça sentido,
deve ser zero. Portanto, consideramos que
para prosseguir.
Passo 7
Agora, resolvemos as duas equações separadas.
Para a equação em
:
Esta é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com solução geral:
Onde
e
são constantes de integração.
Para a equação em
:
Semelhante à equação em
, a solução geral é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 8
Finalmente, juntamos as soluções de
e
para obter a solução geral da equação original:
Resposta
A solução em forma de produto para a equação dada é:
Onde
,
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema.
Exercícios relacionados
Seja
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em
na direção de
para
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
g)
Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha
ao redor de uma curva fechada simples
dá duas vezes a área da região delimitada por
.