Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) a^2 u_xx - g = u_tt, g constante

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação de derivadas parciais dada por:
Aqui, g é uma constante. O conteúdo envolvido é a separação de variáveis, uma técnica usada para resolver equações diferenciais parciais encontrando soluções que podem ser expressas como o produto de funções de variáveis únicas. Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar essa técnica e buscar uma solução na forma de produto.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável única:
Essa é a ideia central da separação de variáveis: separar a função em partes que dependem apenas de x ou apenas de t.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a segunda derivada de u em relação a x:
E a segunda derivada de u em relação a t:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos reorganizar os termos para facilitar a separação:

Passo 5

Dividimos ambos os lados da equação por para separar as variáveis:
Observe que o lado esquerdo depende apenas de x e t, enquanto o lado direito depende de ambas as variáveis multiplicadas, o que complica a separação. Para que a igualdade seja verdadeira para todos os x e t, cada lado deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Igualando os termos a uma constante , temos duas equações:
  1. Para a parte que depende de x:
  1. Para a parte que depende de t:
E ainda temos:
Isso implica que , mas como g é uma constante dada, para que a separação faça sentido, g deve ser zero. Portanto, consideramos que para prosseguir.

Passo 7

Agora, resolvemos as duas equações separadas.
Para a equação em x:
Esta é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com solução geral:
Onde A e B são constantes de integração.
Para a equação em t:
Semelhante à equação em x, a solução geral é:
Onde C e D são constantes de integração.

Passo 8

Finalmente, juntamos as soluções de e T(t) para obter a solução geral da equação original:

Resposta

A solução em forma de produto para a equação dada é:
Onde A, B, C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema.

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